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文章关键词:万博体育NBA赛事,相交图

  **第十二讲、相交图第十二讲、相交图 本讲中我们将介绍相交图与它的一些特例,如边图、圆弧图、T-区间图和正交图,以及这些图的基本性质、判定、染色、独立集、与其他类型图的关系等问题,但多数将不给出证明。 (除了译者自证的) 1.介绍.介绍 我们已经了解了一些相交图,例如区间图、弦图、排列图等。许多现实问题都可以转化为相交图上的问题。由于相交图的范围广泛,它包含一些特例,例如边图、T-区间图、圆弧图、正交图等。 图的判定、独立集、染色、团、与其他类型图的关系等是图论中的一些经典问题,多数情况下这些都是 NP 问题,但对于某些探索的相交图,部分问题可以有...

  **第十二讲、相交图第十二讲、相交图 本讲中我们将介绍相交图与它的一些特例,如边图、圆弧图、T-区间图和正交图,以及这些图的基本性质、判定、染色、独立集、与其他类型图的关系等问题,但多数将不给出证明。 (除了译者自证的) 1.介绍.介绍 我们已经了解了一些相交图,例如区间图、弦图、排列图等。许多现实问题都可以转化为相交图上的问题。由于相交图的范围广泛,它包含一些特例,例如边图、T-区间图、圆弧图、正交图等。 图的判定、独立集、染色、团、与其他类型图的关系等是图论中的一些经典问题,多数情况下这些都是 NP 问题,但对于某些探索的相交图,部分问题可以有效解决。 第 2 解中将给出相交图的定义并进行简要的讨论。之后几节将逐个讨论一些相交图的特例。 2.相交图.相交图 定义 1:一个图个是相交图,如果它的每个顶点 V 可以映射到一个集合 Sv,满足两个顶点间有边,当且仅当它们对应的集合的交集非空。 定理 1:所有的图都是相交图。 证明:令 Sv={以 V 为一个端点的边集}。显然若(V,W)有边,当且仅当该边是 V、W对应集合交集中的元素。即证。▊ 问题 1:有定理 1 的证明可知一个元素个数为E(边数)的全集中的若干子集的相交图可以成为这个图 G=(V,E) 。但是更小的全集是否可行呢?全集元素的下界又是什么?这是一个开放的问题。 3.边图.边图 定义 2:一个图 G 的边图 H 满足 V(H)=E(G) ,H 中两个顶点间有边,当且仅当它们对应的边在 G 中有一个公共端点。 图 1 中白点与虚线显示了一个图的边图。 显然一个五阶的无弦环的边图是它本身,即一个洞,所以边图不一定是完美图。 3..1.边图的一些结论.边图的一些结论 假设图 G 的边图是 H,下边是一些经典问题在 H 上的一些结论,这里不加证明。 判定:边图可以在 O(n+m)时间内判定,具体方法见[Rou73,Leh74]。 独立集:边图上的最大独立集问题就是原图 G 上的最大匹配问题,由于最大匹配在任意图上都可以有效地解决(一种方法是利用带花树) ,因此边图的独立集问题也是可解的。 团覆盖:这个问题就是原图的的顶点覆盖问题,这是一个 NP 问题。但当 G 是二分图时这个问题是可解的。 染色:这个问题等价与原图的边染色问题,也是 NP 问题。但可以得知图 G 的边色数要么等于度最大顶点的度,要么等于这个数加 1,因此搜索时有较强的剪枝。 【而且对于二分图,有边色数等于度最大顶点的度】 ,因此是可解的。 团:边图 H 中的团对应的原图中的边要么是三角形,要么交于同一点(很容易理解和证明) ,因此只要测试原图中所有三角形于各个顶点即可。这个问题是可解的。 另外,虽然边图不都是完美图,可以证明二分图对应的边图都是完美图。 定理 2:二分图对应的边图都是完美图。 证明:1、证明二分图对应的边图中没有高于 3 阶的奇阶洞 假设边图中存在高于 3 阶的奇阶洞, 则易知这些顶点在原图中对应的边构成一个奇阶环, 这与二分图中没有奇阶环矛盾。 2、证明二分图对应的边图中没有高于 3 阶的奇阶井 假设边图中存在 2K+1 阶井, (K2,KN*) 。 若 K=2,则该 5 阶井就是一个 5 阶环,由 1 得矛盾; 若 K=3,设该 7 阶井的顶点依次为 1..7,从 1 开始依次构造原图,可以发现前 5 条边加入满足条件的本质不同的方式只有一种,而第 6 条边无法加入,矛盾(如图) 。这个性质对任意边图都成立。 ? ? ? ? ? 若 K4, 设该 7 阶井的顶点依次为 1..2K+1, 则易知顶点集{1,3,5,7,2K-1}与{2,4,6,82K}在边图中分别构成两个顶点数不少于 4 的团。万博体育NBA直播由于边图中的团在原图中只有两种情况,这里三角形显然不可能,因此必定是交于同一点的边集。万博体育NBA直播由因为边图中顶点 1、2 见无边,因此这两个团的公共点 A、B 不重合。又边图中顶点 2K+1 与顶点 2,3,4,5 都相邻,因此原图中该边只可能连接顶点 A 和 B。于是该边与边 1 相邻,这与边图中这两个顶点见无边矛盾。这个性质对任意边图都成立。 综上所述,二分图的边图中没有高于 3 阶的奇阶井。 由 1、2,根据强完美图猜想,二分图边图是完美图。证毕。▊ **4.圆弧图.圆弧图 圆弧图是另一类相交图,可以看作区间图的推广。 定义 3:图 G 是圆弧图,当且仅当 G 是一个圆周上若干圆弧的相交图。 图 3 是一个圆弧图的例子。 可见这个圆弧图是一个 5 阶洞, 因此圆弧图不一定是完美图。 4..1.圆弧图的结论.圆弧图的结论 ? 判定:可以在线形时间 O(n+m)时间内判定,具体见[HBH90,DHH96]。 ? 染色:圆弧图的染色与一般图一样是 NP 问题。[GJMP78] ? 团:这是一个可解的问题,见[Gav74]。 5..T-区间图。-区间图。 定义 4:一个图 G 是 T-区间图,当且仅当它是元素个数不多于 T 的区间的集合构成的相交图。 图 4 是一个 2-区间图的例子,这个图是一个 5 阶洞,因此当 T是完美图。 5..1..T-区间图的结论-区间图的结论 ? 与其他类型图的关系 ? -由定义可知 1-区间图就是区间图 ? -树是 2-区间图 ? -边图是 2-区间图 ? -平面图是 3-区间图 ⎡/ ) 1( +∆2 时 T-区间图不一定? -任意图 G 都是区间图,其中是 G 中度最大顶点的度。 ⎤2? 判定:当 T经讲过了。 2 时判定 T-区间图是 NP 问题,但判定 1-区间图是可解的,之前各讲已6.正交图.正交图 定义 5:一个图 G 称为 D-正交图,当且仅当 G 是 D 维空间中若干正交的几何形构成的相交图。 图 5 是一个 2-正交图的例子,这是一个 5 阶洞,因此正交图不一定是完美图。万博体育NBA直播 6..1.正交图的结论.正交图的结论 ? 判定:当D1 时,D-正交图的判定是 NP 问题。 ? 与其区间图的关系:1-正交图是区间图(也就是 1-区间图) ,但当 D1 时 D-正交图与 D-区间图没有明确的关系。下面给出 D=2 时这两种图的差别: ? 2-正交图中的每个顶点V都是分别平行与X轴与Y轴的两个向量Iv为V=IvIv? -2-正交图中的每条边(V,W)表示顶点 V、W 的两个分向量都相交,而 2-区间图中的一条边(V,W)表示顶点 V、W 对应的四个区间中不属于同一顶点的任意一对或多对相交。 ? 与其他类型图的关系:任意图 G 都可以表示成 D-正交图的形式,其中 D 随 G 的不同而不同。 ? 独立集:正交图上的独立集问题是 NP 问题(1-正交图除外) 。 x与Iv2的并集,记为V=y的叉积,记x×Iv2。 y。但 2-区间图中的每个顶点V是两个区间Iv1与Iv1Iv

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